Les mathématiques ne détiennent pas toujours la vérité !

Posté par Roger Robert le 15 janvier 2011

Dans cet article, je veux démontrer qu’il ne faut pas attendre des mathématiques qu’elles servent d’outil de prédiction pour des comportements qui heurtent l’intelligence et pour lesquels la durée de vie de l’humain ne pourra jamais contrôler.

Pour ce faire, je vais m’attaquer à deux notions élémentaires et fort simples que sont l’intégration et la dérivation.

Rassurez-vous, comme pour la rédaction de mon livre, je tiens à ce que les explications soient simples et à la portée de toutes et tous. Ne désirant pas rédiger un billet trop long, je n’entre pas dans les détails de ces opérations, ni même dans la symbolique employée. Nous concentrerons notre réflexion autour de graphiques dans lesquels apparaissent ces notions sous forme géométrique.

  • L’intégration est le calcul de la surface sous la courbe.
  • La dérivation est le calcul de la pente de sa courbe.

Dans les deux cas nous opérons sur une fonction et obtenons une fonction. Une fonction caractérise la variation d’une grandeur en raison de son argument. Une fonction constante signifie que la grandeur ne varie pas sur l’intervalle de définition considéré.

Analyse d’un mouvement dans un repère temporel.

Prenons le cas de la vitesse soumise à une accélération constante et représentée dans un repère où l’argument est le temps. Dans ce repère temporel nous obtenons :

Les mathématiques ne détiennent pas toujours la vérité ! dans Action acceleration dmamath1

La fonction de la vitesse est obtenue par intégration de la fonction accélération. Cette intégration est la sommation des accélérations et représente la surface rectangulaire verte sous la courbe de l’accélération. Sur le graphique de droite, la fonction de la position est obtenue par intégration de la fonction de la vitesse. Elle représente la surface triangulaire bleue sous la courbe de la vitesse. Ceci nous a permis de trouver les relations applicables à ce mouvement uniformément varié avec des conditions initiales nulles (vitesse et déplacement).

Avant de changer d’argument en considérant le déplacement en lieu et place du temps, regardons quelques exemples, toujours simples, où l’accélération varie en fonction du temps. Nous comparons 3 cas

réunis sur un même graphique :

dmamath2 dans Dans le livre

La somme des accélérations, sur cet intervalle de temps équivaut toujours à la même valeur de la vitesse. Par contre, la progression de la vitesse suit 3 courbes différentes. Pour connaître la forme de ces courbes, nous raisonnons sur la base de la dérivation qui, au niveau de ce graphique, est abordée par la pente issue de la valeur de l’accélération à l’instant considéré.

Par exemple, pour tracer la courbe de la vitesse de l’objet 3, nous constatons qu’à l’instant initial t=0, l’accélération est le double de celle que subit l’objet 1, de ce fait, la pente est, en ce point, 2 fois plus prononcée. Arrivé à l’instant t, l’objet 2 ne perçoit plus d’accélération, la pente est nulle caractérisant une tangente horizontale. La forme de cette courbe est un tronçon de parabole.

Analyse d’un mouvement dans un repère spatial.

Cette fois-ci, l’argument est la distance parcourue notée x. Nous savons que la représentation de la courbe de la vitesse d’un objet soumis à une accélération constante est la suivante :

dmamath3 dans Dynamique, cinematique

La courbe de la vitesse progresse en décrivant une parabole.

Pouvons-nous représenter l’accélération dans un tel repère spatial ?

Non, car les intervalles de temps d’une même valeur ne sont plus identiques pour des intervalles de distance constants. De ce fait :

Nous ne pouvons plus procéder à l’intégration de la fonction de l’accélération dans cette représentation.

Pour pouvoir utiliser de nouveau l’accélération dans nos relations, nous introduisons 2 notions liées à la dynamique à savoir :

  • La seconde loi de Newton. Elle nous dit que la force est proportionnelle au produit de la masse avec l’accélération, que nous écrivons :

dmamath8.jpg

  • Le travail mécanique selon Bernoulli. C’est le produit de la force avec le déplacement.

dmamath9a.jpg

Si nous négligeons les frottements, le travail mécanique correspond à l’énergie cinétique du mobile. Par conséquent, nous représentons l’évolution du travail de la sorte :

dmamath4.jpg

Afin de faciliter la comparaison entre la vitesse encore nommée vélocité et l’énergie cinétique, je considère sa valeur élémentaire donc divisée par la masse, je la désigne par la lettre minuscule w et la nomme vivacité ou potentiel dynamique.

Sur le graphique ci-dessus, nous constatons que la vivacité progresse linéairement avec une pente de valeur (a). La valeur de cette vivacité, lorsque la distance parcourue atteint x, est égale à la surface rose sous la courbe des a.

Devons-nous toujours parler d’une accélération ?

Pour tenter de répondre à cette question, nous reprenons la seconde loi de Newton qui nous dit que, pour un même objet, la force est proportionnelle à l’accélération. Dans notre cas, si la force, qui anime cet objet, est constante dans le temps, elle est forcément constante dans l’espace. Nous devrions de ce fait être en présence d’une accélération, mais la surface rose sous la courbe, qui est l’intégration de cette courbe dans l’espace, ne correspond pas à la vitesse.

En conclusion, cette grandeur (a) n’est pas une accélération mais ce que je nomme une action.

Avant de justifier davantage ce constat, procédons comme pour la vitesse au tracé des différentes courbes de l’action pour qu’après avoir parcouru une même distance x la vivacité soit identique. Nous obtenons les 3 Types de mouvement suivants :

dmamath5 dans Einstein

Les graphes de gauche sont similaires à ceux tracés pour la vitesse dans un repère temporel, mais dans ce repère spatial la grandeur qui évolue est la vivacité. Sans autres explications j’ai reporté le résultat des courbes de progression de la vitesse pour ces 3 Types de mouvement.

L’inconvénient principal de cette grandeur qu’est l’action réside dans le fait que nous perdons tous les liens avec le temps. Si nous sommes en mesure de quantifier la vivacité du mobile qu’elle que soit la courbe de l’action, la notion du temps passé pour atteindre cet état n’est plus calculable. Pour ces 3 Types de mouvement, j’ai effectué toute la démarche pour retrouver la valeur du temps écoulé que je fais apparaître sur le graphique tridimensionnel suivant : 

dmamath6 dans Newton
Sur ce graphique, nous constatons que la durée varie en fonction du Type de mouvement. L’accélération moyenne qui permettrait d’atteindre cette vitesse est différente dans les 3 cas. Elle est plus intense pour le Type N°3 car l’intervalle de temps est plus court.

Ceci démontre qu’entre l’action et l’accélération nous avons 2 grandeurs différentes, et qu’il est impossible de procéder à l’intégration de l’une dans un repère où elle n’est pas active.

  • La somme des accélérations dans le temps est égale à la vélocité.
  • La somme des actions dans l’espace est égale à la vivacité.

Dans nos études dynamiques nous avons fait cette méprise en confondant ces deux grandeurs !

Si une même somme d’action sur un même déplacement permet de prédire l’état dynamique (la vivacité), il ne peut plus prédire la durée. La vitesse est déduite de l’équivalence entre la vivacité et le demi carré de celle-ci, w = v²/2.

Pourquoi cette méprise, cette confusion ?

Nous sommes tombés dans le panneau parce que nous ne voulions pas savoir ce que nous mettions dans nos relations. Le résultat était conforme à l’expérimentation donc la relation était exacte et vérifiée. Inutile de chercher plus loin.

L’erreur a été induite par l’accélération gravitationnelle g qui n’est pas une accélération mais l’action du champ de pesanteur. Cette grandeur est constante dans le temps et, sur grande hauteur, elle est constante dans l’espace. De ce fait, la confusion n’est pas trop préjudiciable, par contre elle le devient lorsque l’action n’est plus constante sur le chemin comme par exemple lors de la propulsion d’une charge avec un ressort.

De plus cette confusion est insidieusement issue du fait que l’action et l’accélération possèdent toutes deux la même unité. Elles s’expriment en mètres par seconde carrée, mais cette apparente similitude masque, aux yeux de ceux ne veulent plus regarder, des différences considérables.

Je m’explique :

dmamath7 dans Philosophie

L’action correspond à des joules par mètre [J/m]. Elle fait varier l’état dynamique du mobile, sa vivacité, son potentiel dynamique, (son énergie cinétique).

(Petite parenthèse pour ceux qui n’auraient pas encore lu mes développements sur la pesanteur. La conclusion surprenante est que la quantité de matière d’une entité que nous qualifions la « masse« , est un nombre d’électrons. Un nombre de particules ne peut pas être affecté d’une unité et par conséquent, le kilogramme [kg] ne doit plus être utilisé. Comparer une quantité de matière c’est comparer la force qu’elles induisent en fonction du lieu, donc comparer des poids. Voilà pourquoi le kilogramme n’apparaît pas dans l’expression du joule dans les unités de base.)

Avec cette différence entre l’action et l’accélération, nous sommes en droit de nous demander si la seconde loi de Newton doit être modifiée et interprétée en relation avec l’action. La réponse serait évidente si tous les phénomènes respectaient un comportement immuable. Mais que nenni ! Les expériences ont démontré que si dans la majorité des cas l’état énergétique, lié au mouvement, variait en fonction du carré de la vitesse, donc de la vivacité, dans d’autres cas cette variation n’était plus qu’en relation avec la variation de la vitesse.

Ne sachant expliquer le pourquoi de la chose, nous avons tout simplement créé une nouvelle grandeur énergétique qui se nomme la quantité de mouvement.

La quantité de mouvement. Elle correspond au produit de la masse avec la vitesse.    p = m v

Entre la quantité de mouvement et l’énergie cinétique (travail mécanique) les savants d’antan se sont cordialement disputés. Aujourd’hui, nous devons généralement utiliser l’une et occasionnellement l’autre. Il faut simplement savoir « quand-quoi » sans aucune explication cohérente.

Et pourtant, lorsque la compréhension est au rendez-vous tout trouve une logique. Il existe des raisons valables et parfaitement expliquées dans le livre, qui nous font découvrir que l’orientation spatiale du déplacement a une incidence sur les réactions inertielles. Vous découvrirez ainsi que, dans un mouvement rectiligne horizontal et varié, ces réactions inertielles ne sont pas en relation avec l’action et encore moins avec l’accélération, mais en raison de la pente de variation de la vitesse dans un repère spatial. Grandeur que je nomme la raideur du mouvement. La quantité de mouvement est l’artifice qui nous permet de calculer correctement et la preuve qui valide cette nouvelle grandeur.

Pour le déplacement des fusées qui utilise la quantité de mouvement, je vous laisse découvrir mes raisonnements qui trouvent la solution à un moment, en apparence, pas très opportun dans la logique du livre.

Revenons au sujet de cet article.

Si nos outils mathématiques permettent de calculer, sans ambiguïté, la surface sous la courbe (intégration) ou la pente de variation de la courbe (dérivation), il faut savoir la fonction de quelle grandeur nous devons considérer !

Devons-nous considérer l’accélération, l’action ou la raideur du mouvement ?

En fait le choix se limite aux deux dernières grandeurs, car nous cherchons toujours à connaître les réactions inertielles lors d’un déplacement dans l’espace.

Les courbes que nous avons regardées plus haut, sont celles que nous trouverions dans le cas d’un mouvement rectiligne et varié, donc se déroulant dans une dimension spatiale. Si nous désirions étudier un mouvement dans deux dimensions, c’est-à-dire que l’objet décrit des zigs et des zags dans un plan, avons-nous à disposition les outils qui assurent un résultat irréprochable ?

Non ! Car nos outils ne sont pas en mesure de faire la ségrégation entre la part de la grandeur qui fait varier la vivacité de l’objet et celle qui modifie l’orientation de sa trajectoire !

L’étude d’un mouvement dans les 3 dimensions spatiales, comme par exemple celle d’un manège du type « grand-huit », n’a pas encore trouvé la recette miracle sans passer par une décomposition judicieuse. L’expérience aidant les erreurs ne sont pas considérables et les corrections des courbures des trajectoires suite aux essais, témoignent de résultats non conformes aux prédictions.

Que dire de ces équations fantastiques qui partent dans la quatrième dimension en considérant un « espace-temps » et toutes les autres aussi fantastiques qui considèrent 11 dimensions et bientôt 26, sans parler des probabilités qui s’immiscent insidieusement dans la réflexion ???

Pratiquement toutes nos formules mathématiques, en relation avec des comportements liés à la mécanique, sont corrects et délivrent un résultat exact, mais pas toutes. Heureusement, une multitude d’artifices de toutes sortes viennent en améliorer certaines, comme par exemple la « masse réduite » pour les objets roulant.

Le livre comporte 480 pages, car après un long développement du Modèle de l’Atome à Électrons Statiques (MAES) qui permet de découvrir, entre autre, l’éther et ainsi de comprendre le phénomène de la pesanteur, le reste est principalement orienté dans la découverte de tous ces phénomènes dynamiques avec des développements simples et en douceur pour arriver à cette conclusion :

Pour comprendre le résultat mathématique, il faut avant tout comprendre ce qui entre dans ces relations !!!

C’est ainsi, en raisonnant par une approche graphique, comme nous venons de le faire, que j’ai retrouvé des formules connues, mais obtenues uniquement de façon empirique et sans la moindre explication.

Roger Robert 

Les Sciences revisitées ne sont pas des pseudo-sciences, mais tout simplement : Les Sciences Naturelles Explicatives !

 

Modification du 27 juin 2011.

Afin de compléter les précédentes explications, je mets en ligne, les pages du livre qui traitent de la cinématique, des fondements de quelques notions mathématiques et le mouvement, rectiligne et varié, revisité, au format PDF

35 Réponses à “Les mathématiques ne détiennent pas toujours la vérité !”

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  1. Tontin dit :

    Je vous cite :

    “La dérivation représente la pente de progression de la grandeur dans le repère considéré, il n’est pas nécessaire de procéder à de tels calculs pour observer cette pente sur un graphique.”

    Je dirais que vous avez un sacré coup d’œil pour observer et évaluer une pente sur un graphique .
    Et surtout qu’il faudrait pouvoir le faire en des milliers de points .

    D’autre part il est gênant de trouver une confusion entre les
    mots “dérivation” et “dérivée” .
    Une “dérivation” est un calcul , une opération , un algorithme
    …..
    Une dérivée est le résultat d’une telle opération .

    Que dite vous de cette définition :

    “La dérivée d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles en un point a est la limite du tau d’accroissement de cette fonction entre a et a+h , lorsque h tend vers 0 .”

    Pouvez vous comprendre cette phrase ?

    Et y retrouver “caché” la pente que vous évoquez ?

    Mais là , je ne parle que de réels –ce qu’on appelle nombre réels– et je ne vais pas vous ennuyer avec les nombres complexes .Et encore moins avec des fonctions de 2 ou 3 variables .

    Je ne vous fatiguerez pas non plus à vous faire remarquer qu’il y a belle lurette que le mot scalaire–trop flou– n’est plus guère utilisé sauf par routine ou étourderie . on parlera plutôt de rationnels/réels ou complexes …

    Je n’ai pas lu tout votre livre , mais j’ai lu avec une attention intéressée, puis critique, puis déçue , plusieurs chapitres .

    Puisque Wikipédia est parfois source de vos informations,
    je vous conseillerais d’aller y lire ce qui a été élaboré
    par les hommes en ce qui concerne les espaces vectoriels le calcul différentiel etc ….

    Ceci par ce qu’une grande partie de vos théories nous montre bien encadrées et colorées des formules purement mathématiques .

    Mais dans votre espace mental mathématique nous ne voyons que
    des nombres (réels ?) /addition/soustraction/produit/quotient
    racines carrées / un vague dérivée/un timide symbole d’intégration/cosinus et sinus .

    Log /exp/puissances/ séries entières ou non /dimension d’espace vectoriel/ structure de module/ellipse/cône… etc… etc… sont invisibles

    Pourtant la “bête” exponentielle contient vos cosinus et sinus
    que vous utilisez sans plus vous interroger .

    Alors on se demande en quoi vous êtes novateur -pour utiliser un mot à la mode – et quel nouvel éclairage vos apportez.

    Vous ressemblez à un grand enfant qui s’amuse et se rassure avec de jolis schémas et formules en couleur .

  2. Roger Robert dit :

    @ Tontin,
    Je vous remercie de prolonger ici, la discussion commencée ailleurs.
    Je ne suis pas spécialiste des mathématiques abstraites et ne connais ni les travaux de Dieudonné, ni ceux de Gramain. Je n’ai même rien trouvé sur internet.
    Par contre, j’aime comprendre ce que je fais et au niveau de l’intégration c’est la recherche de grandeurs physiques qui intéresse la mécanique. Pour ce faire, il faut comprendre ce que nous devons intégrer.
    Actuellement, le calcul de l’énergie cinétique, dans un mouvement rectiligne et varié correspond au produit scalaire du vecteur force avec le vecteur déplacement. Cette force serait, selon la seconde loi de Newton, proportionnelle à l’accélération (grandeur temporelle qui caractérise la variation de la vitesse dans le temps). Or, cette énergie cinétique, que je nomme la vivacité (W=m.a.x), est l’intégration d’une grandeur spatiale, qui influence la force, sur l’intervalle de distance considéré. Cette grandeur spatiale ne peut plus être l’accélération d’où l’introduction de l’action.
    Avec ce petit exemple, je démontre qu’il est intéressant de revenir aux bases fondamentales de l’opération d’intégration pour comprendre la portée de nos calculs.
    Plus loin dans le livre, dans le chapitre sur la géodésie, je démontre que l’emploi de la fonction du « gradient du potentiel de pesanteur » délivre un résultat, dans un axe, conforme à nos mesures mais dont l’utilisation d’une telle méthode de calcul n’est pas justifiée et qu’elle entraine des erreurs dans l’interprétation de ces résultats.
    Tout ceci pour dire qu’il faut bien comprendre ce que nous mettons dans nos relations. La méthode graphique que je fais apparaitre, montre que l’intégration correspond au calcul de la surface située sous la courbe de la grandeur spatiale : l’ACTION.
    Vos précédents reproches un peu plus virulents témoignent d’une lecture peu approfondie de tout ce que je développe dans le livre.

  3. Roger Robert dit :

    @ Tontin,
    J’avais commencé à rédiger ma première réponse et j’ai du m’absenter et constate qu’un autre commentaire était déjà là.

    Vous avez cherché dans mon livre un traité de mathématique, or il n’est pas nécessaire de connaitre toutes les complexités de cette matière pour retrouver de façon très simple, la majeur partie des relations utiles dans le domaine de la mécanique et plus particulièrement liées aux mouvements.

    Le pouvoir et la complexité des mathématiques sont immenses, mais la petite partie vraiment utile pour dimensionner nos réalisations techniques se contente de quelques outils utilisant des nombres réels.
    Dans le second tome, je ferai intervenir les séries, les logarithmes et autres, mais toujours en relation avec leur utilité dans notre monde réel.

    Vous m’avez reproché de ne pas avoir compris Einstein et je le revendique, mais les transformations de Lorentz qui sont à la base de ses théories, ne sont aucunement justifiées et si les horloges des satellites GPS sont modifiées, c’est en relation avec l’altitude et non pas une « dilatation du temps ».
    Les mathématiques aussi complexes soient-elles, ne délivrent pas toujours la vérité, surtout si nous ne savons pas faire le lien avec notre monde physique et réel.

  4. ffi dit :

    @Tonton
    Le mathématicien se pose des problèmes abstraits en partant des abstractions.
    Le physicien utilise l’abstraction pour résoudre des problèmes concrets.

    La physique « symbolique » moderne s’est perdue dans l’abstraction…

    Par exemple la relativité :
    l’on a :
    (1). la mécanique Newtonienne qui s’applique dans les référentiels galiléens.
    (2). les équations de Maxwell qui dépendent du référentiel galiléen considéré.
    (3). Expérience de Michelson : la lumière ne semble pas déviée par la rotation de la terre.

    (1) & (2) sont donc contradictoires.
    Choix de Lorenz : astuce au niveau des formules symboliques (trick en anglais) reprise par Poincaré puis Einstein. Une fois la théorie fondée, il faut tenter de comprendre… C’est une démarche qui consiste à partir d’une abstraction (donc une vue réduite de la réalité concrète), pour s’en abstraire encore plus. C’est un produit d’abstractions en série.

    L’autre méthode, concrète celle-ci, et plus logique, consiste à dire : soit (1) est faux, soit (2) est faux, soit (1) & (2) sont faux. Il faut donc d’abord revisiter de fond en comble les théories (1) & (2) en repartant du concret. Une fois ceci fait, l’on peut faire intervenir tous les mathématiciens possibles pour fonder des concepts abstraits propres à décrire convenablement la réalité.

    La grande force de l’homme, c’est sa capacité d’abstraction. Mais c’est aussi sa grande faiblesse, car parfois il s’y perd, les notions abstraites prenant alors le pas sur la réalité concrète.

    @Roger Robert :
    Que je n’aime pas ce mot d’action ! Il introduit une confusion avec la grandeur classique Action. Ca m’embrouille. Vous estimez qu’il s’agit d’un flux d’énergie par mètre ? Etymologiquement, du grec energon, il y a la racine -ourgos « qui agit », « qui fait » et -ourgia « action ». D’où cata (de haut en bas) + ourgia (action) = la caturgence de la pesanteur. Et urgence dans le cas général (ressort). Je préfère utiliser ces mots plutôt que celui d’action afin d’éviter les confusions.

    Je dois vous avouer que, si votre démonstration m’interpelle, elle me laisse assez confus.

    Il y a eu dans le temps de longs débats sur le rapport entre masse pesante et masse inertielle (m_p.g = m_i.a). Il semble logique d’estimer que l’urgence de la pesanteur s’applique identiquement à chaque élément de matière. Selon le théorème de l’énergie mécanique, avec le repère idoine, pour un objet en chute libre, on a pour énergie : W = m_p.g.z = 1/2 m_i.v².
    Donc, pour vous, m_p/m_i = v²/2.g.z = w/g.z = 1.

    Quelle est votre opinion sur ces débat entre masse pesante et masse inertielle ? Y a-t-il des cas, selon vous, où celles-ci peuvent diverger ?

  5. Roger Robert dit :

    @ Ffi,
    Je sais que vous n’aimez pas le terme d’action, mais pour moi, il a toute sa raison d’être dans le sens que cette grandeur caractérise celle qui engendre le mouvement. Action -> Mouvement.
    De plus, c’est trop tard de modifier mon livre.

    Les scientifiques n’ont pas toujours fait preuve d’une grande adresse dans le choix des grandeurs, comme par exemple l’IMPULSION qui est une force le long d’un chemin comme la force de propulsion d’une fusée. Lorsque je revisite cette grandeur, je pense que vous avez constaté que ma nouvelle définition correspond davantage à notre vision de ce comportement. Une impulsion est dorénavant le potentiel élastique que délivre un objet déformable ou articulé jusqu’à la perte de contact avec son support (grandeur exprimable uniquement dans un repère spatial).

    Concernant le débat entre masse pesante et masse inertielle, pour moi le débat est clos.
    La notion de masse caractérise le nombre d’électrons qui constituent une entité. Cette QUANTITÉ de MATIÈRE ne possède de grandeur inertielle QUE et EXCLUSIVEMENT à l’intérieur d’un champ de pesanteur.
    Je sais qu’en première lecture mon livre n’est pas évident, car notre cursus et notre savoir empêchent de relever toutes les nouveautés et la nouvelle logique qui en découle.
    Pour ce dernier point, relisez la théorie de l’effectivité pour comprendre pourquoi ce débat est clos.

    A part cela, je vous remercie de vos commentaires qui témoignent que vous avez compris, dans presque tous les domaines traités, ma vision des Sciences et qu’elle tient la route mieux que la précédente.

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